Grafos i ponts de Königsberg

Els grafs

Un graf és un conjunt de punts units mitjançant una sèrie d'arestes. Els grafs conexos són aquells que sempre podem trobar un camí que unix un vértex a un vértex qualsevol.
Un graf té un cicle eulerià si és un graf conex i de cada vértex ix un nombre parell d'arestes.
D'acord amb açò, en un cicle eulerià, podrem recórrer totes les arestes una vegada per a passar per tots els punts i començar i acabar en el mateix vértex.
Un graf té un camí eulerià si és un graf conex i de cada vértex ix un nombre parell d'arestes exceptuant de dos, que seran el vérteix d'eixida i el vértex final.
Reflexionant sobre açò, per a que un graf es puga recórrer des d'un vértex, passant una única vegada per tots els vértexs i acabant en el mateix vértex, el nombre d'arestes que ixen de cada vértex ha de ser parell, sense cap excepció.

Els ponts de Königsberg

Els ponts de Königsberg és un problema matemàtic resolt per el matemàtic Euler, que utilitza els grafs per a explicar la solució.
El problema diu així:
La ciutat de Königsberg, que actualment s'anomena Kaliningrado, a Rússia, restava dividida en 4 parts, separades per el riu Pregolya, que s'havien unit amb set ponts. La pregunta deia així: és possible creuar tots els ponts únicament una vegada eixint i acabant a la mateixa part de la ciutat?
Euler va representar aquest problema amb un graf, representant els ponts com arestes i les parts de la ciutat com vértexs.




      →






Els punts intermitjos d'un recorregut possible necessariament han d'estar connectats a un nombre parell de línies. Si arribem a un punt des d'alguna línea, l'única manera d'eixir d'eixe punt és mitjançant una línia diferent. Tant el punt incial com el final serien els únics que podríen estar connectats amb un nombre senar de línees. El requisit addicional del problema diu que el punt inicial ha de ser el final, per la qual cosa no pot existir més d'ún únic punt connectat amb un nombre senar de línies.

Els fractals i el cos humà.

Fractals. Definició.

El matemàtic francés Benoît Mandelbrot desenvolupà, en 1975, el concepte de fractal, que prové del vocable llatí fractus ("quebrat"). Un fractal és una figura plana o espacial que està composta per infinits elements. La seua propietat principal es que el seu aspecte i distribució estadística no varia d'acord a l'escala amb que s'observe.

Els fractals són, per tant, objectes semi geomètrics (per la seua irregularitat no perteneixen a la geometria tradicional) on la seua estructura bàsica es repeteix a diferents escales. El fractal pot ser creat per l'home, inclús amb intencions artístiques, encara que també existeixen estructures naturals que són fractals (com els flocs de neu).

Fractals en el cos humà.

La veu canon -del grec kánon, norma, regla "aplicada a la figura humana o animal"- es refereix, segons la tradició acadèmica clàssica a un sistema de mesures en el qual pugues deduir de les dimensions de una part les dimensions del tot, al mateix temps que de les dimensions del tot es puga coneixer la dimensió de la part menor.

En el segle V aC el mòdul adoptat per a la altura ideal del cos humà erguit de peu era el dit mitjà en la seua altura total contigut 19'5 vegades. En el 450 dC Policleto va realitzar un estudi sobre les proporcions del cos humà, un canon de la bellesa ideal masculina basat en proporcions matemàtiques, anomenat "canon de 7 caps", que com el seu nom indica el ideal de bellesa té 7 caps com altura del cos alternant medicions amb mòduls com la palma de la mà. Més tard, Lisipo i altres coetanis, sota la rigidesa dels sistemes clàssics de medició, varen establir 7'5 i 8 vegades la medida del cap. L'home de Vitrubio -dibuixat per Leonardo en el segle XV- defineix la longitud dels membres superiors estesos com envergadura i relaciona la talla amb el cuadrat dels clàssics que concideix amb el cercle que el seu centre describeix un arc tangent a les extremitats quan l'angle d'obertura de les camis redueix 1/14 part de l'altura del subjecte en peu.
Estes precisions històriques sobre la medicio ens fan plantejar si la qüestió de mesurar parts per a acabar mesurant tot ens permet determinar la prevalència de algún factor clau en el desenvolupament del cos entés com un sistema complex.
El nostre cos és en realitat frut dels impulsos de la evolució, regida en essència per fases del caos característiques dels sistemes naturals. Probablement el cos humà sea la cosa més complexa que existeix, ja que a escales més reduides -com les órbites dels àtoms- es detecta una relativa senzillesa i lo complex e interesant que sorgix amb la unió de molts àtoms i de manera complexa quan es forma un cos humà o alguna estructura semblant. El procés cap a lo complex no pot seguir indefinidament, ja que si la masa augmenta, arriba a un punt en que la gravetat aniquila l'estructura i la materia s'aplasta.

La biologia s'ha vist molt influenciada per la revolució dels fractals, ja que en el cos humà es poden trobar molts exemples de sistemes fractals, com la xarxa vascular o la xarxa neuronal. D'un cos sanguini sorgixen gots menors i d'aquestos, altres molt menors fins arribar als capil·lars. Així veiem que en el camp de la genètica que  actualment té molta importància podem trobar moltíssimes similituds amb els fractals, ja que en tots dos, a partir d'informació simple, sorgeixen estructures complexes.

Hola :D

Benvinguts tots al meu bloc.